Free evolution of the hyperboloidal initial value problem in spherical simmetry

Abstract

[cat] Aquesta tesi tracta sobre l'aplicació de mètodes numèrics de compactificació conformal a la resolució numèrica de les equacions d'Einstein de la Relativitat General. Aquestes formen un sistema complex d'equacions diferencials amb derivades parcials que només es pot resoldre analíticament per a espai-temps altament simètrics. Espai-temps més generals necessiten mètodes numèrics per a la seva resolució. A la Relativitat General, quantitats físiques com l'energia total o el flux de radiació només poden definir-se inequívocament a la regió asimptòtica de l'espai-temps, la qual cosa requereix el tractament numèric de regions infinites. L'enfocament tradicional a codis de Relativitat Numèrica es basa en foliacions espacials tallades per un contorn temporal artificial, les dades de la qual s'extrapolen al l'infinit. L'objectiu d'aquesta tesi es continuar amb el desenvolupament d'una estratègia alternativa que resolgui de forma efectiva les ecuacions d'Einstein per a espai-temps que incloguin sistemes radiants aïllats i que permeti calcular el senyal de radiació sense aproximacions. Seguint una idea de Penrose, en lloc de l'espai-temps físic s'utilitza un altre relacionat amb l'anterior mitjançant un re-escalament conformal. A dins d'aquest espai-temps re-escalat, els límits cap a l'infinit es substitueixen per geometria diferencial local i les quantitats físiques observables poden ser avaluades directament. Per calcular la radiació convé seccionar l'espai-temps en foliacions hiperboloidals, les quals són foliacions espacials suaus que arriben a l'infinit nul futur, el “lloc” de l'espai-temps on arriben els raigs de llum. Entre els avantatges d'utilitzar foliacions hiperboloidals hi ha el no requerir condicions de contorn, ja que l'infinit nul futur és una superfície nul.la entrant i no permet l'accés d'informació des de l'exterior. El preu a pagar és que les equacions d'Einstein re-escalades són singulars a l'infinit i necessiten ser regularitzades. A més, la geometria de fons no trivial de les foliacions hiperboloidals fa que les equacions d'evolució tendeixin a inestabilitats contínues. Com a primer pas per desenvolupar algoritmes numèrics que tractin el problema de valor inicial hiperboloidal per a espai-temps amb camps dinàmics forts, la labor numèrica d'aquesta tesi es restringeix a simetria esfèrica. Donat que la regularització en la direcció radial és comú a simetria esfèrica i al cas tridimensional, s'espera que els resultats obtinguts aquí siguin aplicables, almenys en part, al cas complet. Prenent com a base formulacions lliures estàndard de la Relativitat General, específicament les equacions BSSN (Baumgarte-Shapiro-Shibata-Nakamura) i les equacions Z4, es descriurà la derivació de les seves expressions en simetria esfèrica, així com el càlcul de dades inicials adients sobre la foliació hiperboloidal donada per una foliació amb curvatura mitjana constant. Un aspecte crític és el tractament de les condicions de gauge: s'explicaran els requisits específics per al problema de valor inicial hiperboloidal, com “scri-fixing” o el gauge conformal preferent, així com l'adaptació de condicions de gauge comunment emprades actualment. Com s'esperava, la implementació numèrica va ser difícil d'estabilitzar, però mitjançant una transformació de variables i la inclusió d'un terme d'esmorteïment de lligadura, finalment va donar bons resultats. S'han realitzat simulacions estables de les equacions d'Einstein juntament amb un camp escalar sense massa, amb dades inicials regulars i de camp fort. Perturbacions petites de les dades inicials són estables per sempre, mentre que perturbacions més grans del camp escalar comporten la formació d'un forat negre. Els resultats mostren que les dades inicials d'una “trumpet” de Schwarzschild es desvien lentament dels valors estacionaris esperats, però l'efecte en el cas de perturbacions petites és suficientment lent com per poder observar les cues del camp escalar.

[spa] La presente tesis trata sobre la aplicación de métodos de compactificación conformal en la resolución numérica de las ecuaciones de Einstein de la Relatividad General. Estas ecuaciones forman un sistema complejo de ecuaciones diferenciales con derivadas parciales que sólo puede ser resuelto analíticamente para espacio-tiempos altamente simétricos. Espacio-tiempos más generales necesitan métodos numéricos para su resolución. En Relatividad General, cantidades físicas fundamentales como la energía total o el flujo de radiación sólo pueden ser definidas inequívocamente en la región asintótica del espacio-tiempo, lo que requiere el tratamiento numérico de regiones infinitas. El enfoque tradicional en códigos de Relatividad Numérica se basa en foliaciones espaciales cortadas por un contorno temporal artificial y cuyos datos se extrapolan al infinito. El objetivo de esta tesis es continuar con el desarrollo de una estrategia alternativa que resuelva de forma efectiva las ecuaciones de Einstein para espacio-tiempos que incluyan sistemas radiantes aislados y que permita calcular la señal de radiación sin aproximaciones. Siguiendo una idea de Penrose, en lugar del espacio-tiempo físico se utiliza otro relacionado con el anterior mediante un re-escalamiento conformal. En este espacio-tiempo re-escalado, los límites hacia el infinito se sustituyen por geometría diferencial local y las cantidades físicas observables pueden ser evaluadas directamente. Para calcular la radiación conviene seccionar el espacio-tiempo en foliaciones hiperboloidales, que son foliaciones espaciales suaves que alcanzan el infinito nulo futuro, el “lugar” del espacio-tiempo al que llegan los rayos de luz. Entre las ventajas de utilizar foliaciones hiperboloidales está el no requerir condiciones de contorno, puesto que el infinito nulo futuro es una superficie nula entrante y no permite el acceso de información desde el exterior. El precio a pagar es que las ecuaciones de Einstein re-escaladas son singulares en el infinito y necesitan ser regularizadas. Además, la geometría de fondo no trivial de las foliaciones hiperboloidales hace las ecuaciones de evolución propensas a inestabilidades continuas. Como primer paso para desarrollar algoritmos numéricos que traten el problema de valor inicial hiperboloidal para espacio-tiempos con campos dinámicos fuertes, la labor numérica de esta tesis se restringe a simetría esférica. Dado que la regularización en la dirección radial es común a simetría esférica y al caso tridimensional, se espera que los resultados obtenidos aquí sean aplicables, al menos en parte, al caso completo. Tomando como base formulaciones libres estándard de la Relatividad General, específicamente las ecuaciones BSSN (Baumgarte-Shapiro-Shibata-Nakamura) y las ecuaciones Z4, se describirá la derivación de sus expresiones en simetría esférica, así como el cálculo de datos iniciales apropiados sobre la foliación hiperboloidal dada por una foliación con curvatura media constante. Un aspecto crítico es el tratamiento de las condiciones de gauge: se explicarán los requisitos específicos para el problema de valor inicial hiperboloidal, como “scri-fixing” o el gauge conformal preferente, así como la adaptación de condiciones de gauge comúnmente usadas actualmente. Como se esperaba, la implementación numérica fue difícil de estabilizar, pero mediante una transformación de variables y la inclusión de un término de amortiguación de ligadura, finalmente dio buenos resultados. Se han realizado simulaciones estables de las ecuaciones de Einstein junto con un campo escalar sin masa, con datos iniciales regulares y de campo fuerte. Perturbaciones pequeñas de los datos iniciales regulares son estables para siempre, mientras que perturbaciones más grandes del campo escalar conllevan la formación de un agujero negro. Los resultados muestran que los datos iniciales de una “trumpet” de Schwarzschild se desvían lentamente de los valores estacionarios esperados, pero el efecto en el caso de perturbaciones pequeñas es suficientemente lento como para poder observar las colas del campo escalar.

[eng] The present work deals with the application of conformal compactification methods to the numerical solution of the Einstein equations, the field equations of General Relativity. They form a complex system of non-linear partial differential equations that can only be solved analytically for highly symmetric spacetimes. The most general spacetimes have to be obtained with the help of numerical techniques. In General Relativity, central physical quantities such as the total energy or radiation flux can only be defined unambiguously in the asymptotic region of a spacetime, which calls for the numerical treatment of infinite domains. The traditional approach in Numerical Relativity codes is based on spacelike slices that are cut at an artificial timelike boundary and whose data are extrapolated to infinity. The goal of this thesis is to further develop an elegant alternative approach, which aims to efficiently solve the Einstein equations for spacetimes of isolated radiating systems and compute the radiation signal without any approximations. Following a framework by Penrose, we use a finite unphysical spacetime related to the physical one by a conformal rescaling. On this rescaled spacetime, taking limits towards infinity is replaced by local differential geometry and observable physical quantities can be directly evaluated. In order to compute radiation quantities, it is convenient to foliate spacetime by hyperboloidal slices. These are smooth spacelike slices that reach future null infinity, the “place” in spacetime where light rays arrive. Among the advantages of evolving on compactified hyperboloidal slices are that no boundary conditions are required, because future null infinity is an ingoing null surface and it does not allow any information to enter the domain from beyond. The price to pay is that the conformally rescaled Einstein equations are singular at infinity and need to be regularized. Besides, the nontrivial background geometry of the hyperboloidal slices makes the evolution equations prone to continuum instabilities. As a first step towards developing numerical algorithms for the hyperboloidal initial value problem for strong field dynamical spacetimes, the numerical work in this thesis is restricted to spherical symmetry. Given that the regularization of the radial direction is common to spherical symmetry and the full three-dimensional case, the results obtained are expected to apply, at least to some degree, to the full system. This work's approach uses standard unconstrained formulations of General Relativity, specifically the BSSN (Baumgarte-Shapiro-Shibata-Nakamura) equations and the Z4 equations. The derivation of their spherically symmetric component equations will be described, as well as the calculation of appropriate initial data on the hyperboloidal slice given by a constant-mean-curvature foliation. A critical point is the treatment of the gauge conditions: both the specific requirements for the hyperboloidal value problem, such as scri-fixing or the preferred conformal gauge, and the adaptation of currently common gauge choices will be explained. As expected, the numerical implementation was difficult to stabilize, but by means of a variable transformation on the trace of the extrinsic curvature and the addition of a constraint damping term to the evolution equation of the contracted connection, the implementation finally became well-behaved. Stable simulations of the Einstein equations coupled to a massless scalar field have been performed with regular and strong field initial data. Small perturbations of regular initial data give stationary data that are stable forever, while larger scalar field perturbations result in the formation of a black hole. Schwarzschild trumpet initial data have been found to slowly drift away from the expected stationary values, but the effect for small perturbations is slow enough to allow the observation of the power-law decay tails of the scalar field.