L'art de sumar: Introducció als algoritmes per calcular sumes de sèries hipergeomètriques

Abstract

[cat] Les sèries hipergeomètriques són una eina matemàtica de gran aplicació en camps com la variable complexa, equacions diferencials, equacions en diferències i aritmètica, entre d’altres. En aquest treball, explicarem en detall que són aquestes sèries i donarem resultats sobre aquestes per entendre i observar el seu comportament. Ens adonaremde que aquestes sèries suposen un càlcul laboriós i llarg, enmolts casos, ja que els seus sumands o termes són funcions que poden estar compostes de nombres combinatoris o factorials fent que el càlcul de la sèrie sigui molt complex quan s’han de fermoltes sumes. Aquest fet serà la pedra angular d’aquest treball en el qual s’intentarà trobar una fórmula tancada f (n) que ens doni el resultat de la sèrie d’una forma més òptima. Tot i que hi ha diferents mètodes per aconseguir aquesta fórmula tancada f (n), ens centrarem bàsicament en tres. El primer mètode, consistirà en mostrar una base de dades formada per fórmules tancades f (n). Identificarem una sèrie hipergeomètrica donada amb una fórmula específica d’aquesta base de dades depenent de les característiques de la sèrie hipergeomètrica en qüestió. No obstant això, no totes les sèries hipergeomètriques poden trobar la seva expressió en forma de f (n) a la base de dades, per això veuremaltres dos mètodes més. El segon mètode que veurem és el mètode de Sor Celine, el qual es considera el precursor de tots els mètodes que es centren en trobar una expressió f (n) per una sèrie hipergeomètrica. Aquestmètode consisteix en trobar una relació de recurrència amb els termes “desplaçats” d’una sèrie hipergeomètrica. Veurem i explicarem el funcionament d’aquest mètode juntament amb uns quants exemples del seu ús. Emperò, encara que aquest resulta molt efectiu a l’hora de trobar una expressió de f (n) no sol ser un mètode molt òptim, fet que ens durà a veure un tercer mètode. Per acabar amb el treball mostrarem un darrer mètode conegut amb el nom de mètode de Gosper. Aquest mètode es basa en escriure la raó entre dos termes consecutius en un quocient de polinomis els quals han de satisfer una relació de recurrència clau per trobar l’expressió de la fórmula tancada de la nostra sèrie. Igual que amb l’anteriormètode també és mostrarà com és el seu funcionament i l’aplicarem també a uns quants exemples. Encara que aquest mètode és més òptim que el de Sor Celine, s’ha de dir que aquest no resulta tant efectiu.