[eng] This work explores different types of population dynamics and stability, and their implications
for the coexistence of biological species, using the Generalized Lotka-Volterra model. On the
one hand, an analysis of the model is carried out from a deterministic point of view. First,
the simplest case that the model is able to describe, the logistic equation, is presented. Then,
already established parameterizations are used to represent examples of different dynamics for
systems of 3-4 species, and the stability analysis is performed for each of them. Then, the study
focuses on systems whose parameters are unknown and are given by randomness, which leads
to the need to present the stability criteria established by the Theory of Random Matrices.
On the other hand, the model is analyzed from the point of view of stochastic methods. The
objective here is to solve the case of a single species, i.e., the logistic equation, from a stochastic
method. An analogy is made between the logistic growth and the Markovian process known as
Birth-and-Death. Finally, it is solved by means of Gillespie’s Algorithm. To conclude, once the
two resolutions have been presented, a comparison of both is made.
[cat] Aquest treball explora diferents tipus de din`amica i estabilitat de poblacions, aix´ı com les seves
implicacions per a la coexist`encia de les esp`ecies biol`ogiques, utilitzant el model Lotka-Volterra
Generalizat. D’una banda, es fa una an`alisi del model des d’un punt determinista. Primer, es
presenta el cas m´es senzill que el model ´es capa¸c de descriure, l’equaci´o log´ıstica. A continuaci´o,
s’utilitzen parametritzacions ja establertes per representar exemples de diferents din`amiques
per a sistemes de 3-4 esp`ecies i es fa l’an`alisi de l’estabilitat per a cadascun. Despr´es, l’estudi
s’enfoca en sistemes amb par`ametres desconeguts, per tant, venen donats per l’aleatorietat, la
qual cosa comporta la necessitat de presentar els criteris d’estabilitat establerts per la Teoria
de les Matrius Aleat`ories. D’altra banda, el model s’analitza des del punt de vista dels m`etodes
estoc`astics. L’objectiu ´es resoldre el cas d’una esp`ecie, ´es a dir, l’equaci´o log´ıstica, a partir d’un
m`etode estoc`astic. Es realitza una analogia entre el creixement log´ıstic i el proc´es markovi`a
conegut com a Birth-and-Death. Finalment, es resol mitjan¸cant l’algorisme de Gillespie. Per
concloure, una vegada presentades les dues resolucions es realitza la comparaci´o entre ambdues.
[spa] Este trabajo explora diferentes tipos de din´amica y la estabilidad de poblaciones, as´ı como sus
implicaciones para la coexistencia de las especies biol´ogicas, utilizando el modelo Lotka-Volterra
Generalizado. Por un lado, se realiza un an´alisis del modelo desde un punto determinista.
Primero, se presenta el caso m´as sencillo que el modelo es capaz de describir, la ecuaci´on log´ıstica.
A continuaci´on, se utilizan parametrizaciones ya establecidas para representar ejemplos de distintas
din´amicas para sistemas de 3-4 especies y se realiza el an´alisis de la estabilidad para cada
uno de ellos. Despu´es, el estudio se enfoca en sistemas cuyos par´ametros son desconocidos y
vienen dados por la aleatoriedad, lo cual conlleva a la necesidad de presentar los criterios de
estabilidad establecidos por la Teor´ıa de las Matrices Aleatorias. Por otro lado, se analiza el
modelo desde el punto de vista de los m´etodos estoc´asticos. El objetivo aqu´ı es resolver el caso
de una especie, es decir, la ecuaci´on log´ıstica a partir de un m´etodo estoc´astico. Se realiza una
analog´ıa entre el crecimiento log´ıstico y el proceso markoviano conocido como Birth-and-Death.
Finalmente, se resuelve mediante el Algoritmo de Gillespie. Para concluir, una vez presentadas
las dos resoluciones se realiza la comparaci´on de ambas.