Complex dynamics in power grids

Abstract

[eng] The electric power grid is a complex interconnected network designed to deliver electricity from suppliers to consumers. It is the largest human-made infrastructure ever built, and it is at the center of our daily life. The complexity of the electric grid comes from the number of components interacting directly or indirectly in the network, such as generators, consumers, transformers, circuit breakers, relays, transmission lines, retailers, nature and the environment. The electric grid can be seen as the circulatory system of the society. The electricity (blood) is produced at the generators (heart) which pushes it (pumps) into the transmission lines (arteries and veins), which transport and distribute it to the end users or consumers (organs). The modern electric network increasingly combines new types of generation units powered by renewable energy sources (wind, water, and solar), which are all dependent of the weather and therefore unpredictable and fluctuating. As an important and essential part of our lives the electric network should be well understood and analyzed, in order to make it reliable, robust and safe for the users. It is well known that instabilities in the electric grid can arise through frequency or voltage unbalances, or due to a line breaking. Much research has been devoted to the modeling and control of the stability of the grid. Most of it it’s focused on the frequency and voltage angle stabilization using diverse algorithms and control methods. Other works built up methods for understanding and analyzing the propagation of blackouts in the electric network. The main purpose of this thesis is first to understand the dynamics of the grid in presence of decentralized frequency control directly included in the electric devices. We first consider the case of a single power plant and then extend the study to the case of a network. Second, this thesis aims to analyze the propagation of either blackouts or line outages in a situation where the electric consumption is controlled. To these ends, we model a realistic electric power grid using mathematical tools and computational methods.

The first step to model the power grid is the modeling of the power plant, which roughly speaking is composed of a generator and frequency and voltage regulators. The power plant model is based on the second Newton’s law for a rotating body. The obtained equation, also known as swing equation, gives the time variation of the frequency of the grid as a result of the unbalance between the mechanical and the electrical power. The swing equation is then combined with the frequency regulator model. The frequency regulation considered here is composed by the load frequency control (LFC) which is the primary control and the automatic generation control (AGC), also referred to as secondary control. It is shown that after any deviation the frequency is brought back to its reference value thanks to the LFC and the AGC. The voltage regulation is not considered in this thesis and the voltage is assumed to be always constant. Second, we propose a very simple stochastic demand model able to reproduce the main statistical properties of real demand fluctuations. This stochastic model corresponds exactly to a Markov process for a system composed of N particles, each one making transitions between two states (on, off) with a certain rate p. The frequency fluctuations arising from such model adjusting only the switching rate p are close enough to the real frequency fluctuations measured in the Balearic island grid as to validate the model. The power grid frequency control is a demanding task requiring expensive idle power plants to adapt the supply to the fluctuating demand. An alternative approach is controlling the demand side in such a way that certain appliances modify their operation to adapt to the power availability. This is especially important to enable a high penetration of renewable energy sources. A number of methods to manage the demand side have been proposed. In this work we focus on dynamic demand control (DDC), where smart appliances can delay their switchings depending on the frequency of the system. We first introduce DDC in the proposed simple model to study its effects on the frequency of the power grid. We find that DDC can reduce small and medium-size fluctuations but it can also increase the probability of observing large frequency peaks due to the necessity of recovering pending tasks. Although these events (large frequency peaks) are very rare they can potentially trigger a failure of the system, and therefore strategies to avoid them have to be addressed. We then introduce a new method including communication among DDC devices belonging to a given group, such that they can coordinate opposite actions to keep the group demand more stable. We show that for this method the amount of pending tasks decreases by a factor 10 while large frequency fluctuations are significantly reduced or even completely avoided. Extending the study to the case of a simple network, we show that in addition to the reduction of the frequency fluctuations observed in each node, DDC smooths out the fluctuations of the phase differences between generators. Furthermore, we show that in the case of a sudden breaking of a line, smart devices adapt their consumption according to the outage in the network. This is not the case in the

uncontrolled network. Regarding the effects of control on a network, we have also studied how secondary control may help to prevent an effect called Braess’ paradox. Nowadays, the integration of renewable energy sources requires grid extensions and sophisticated control actions on different time scales to cope with short-term fluctuations and a long-term power imbalance. Braess’ paradox constitutes a counterintuitive collective phenomenon that occurs if adding a new transmission line to a network increases loads on some other lines, effectively reducing the system’s performance and potentially even entirely halting its operating state. Combining simple analytical considerations with numerical investigations on a simple network, we study the dynamical consequences of secondary control in a AC power grid model. We show that control applied to all nodes provides dynamical stability to the system and cures Braess’ paradox, while control applied only to generator nodes has a limited efficiency which depends on the grid topology. Our results highlight the importance of demand control in conjunction with grid topology for stable operation and reveal a new functional benefit of secondary control. Finally we address the issue of cascading failures in a realistic model for the electricity dispatch in the power grid. The components of the power grid are interconnected in such a way that any failure can propagate, affecting neighboring elements of the network if nothing is done to isolate the faulty element or the affected region. The understanding of cascading failures constitutes an important challenge in the electric network control community, and it is primordial for the grid’s safety and the economic development of a society. Several models have been proposed to address this problem. Among them, the ORNL-Pserc-Alaska (OPA) model, which is a model proposed by researchers and engineers from Oak Ridge National Laboratory (ORNL), Power System Engineering Research Center of Wisconsin University (PSerc), and Alaska University (Alaska) to study and understand cascading failures and blackouts. We study here the cascading failures on a small network of hundred nodes using the OPA model in which we introduce power fluctuations and DDC. We observe that the complementary cumulative distribution function of the blackout sizes has a tail showing a power law characteristic, both with and without DDC. We also observe a reduction in the number of overloaded lines and blackouts in presence of DDC as compared to the case without control. DDC shifts blackouts from peak hours to valley time, where pending tasks are recovered. Although the number of blackouts is reduced, the probability of observing a large one at valley time is higher than without control, a similar phenomena to that observed in the case of the AC network.

[spa] La red eléctrica es un complejo interconectado diseñado para entregar electricidad de los proveedores a los consumidores. Es la infraestructura humana más grande jamás construida, y está en el centro de nuestra vida diaria. La complejidad de la red eléctrica proviene del número de componentes que interactúan directa o indirectamente en la red, como generadores, consumidores, transformadores, relés, líneas de transmisión, comercializadoras, naturaleza y el medioambiente. La red eléctrica se puede ver como el sistema circulatorio de la sociedad. La electricidad (sangre) se produce en los generadores (corazón) que la empujan (bombas) hacia las líneas de transmisión (arterias y venas), que la transportan y la distribuyen a los usuarios finales o consumidores (órganos). La red eléctrica moderna combina cada vez más un nuevo tipo de unidades de generación alimentadas por fuentes de energía renovables (eólica, solar y de agua), todas ellas dependientes del clima y, por lo tanto, impredecibles y fluctuantes. Como parte importante y esencial de nuestras vidas, la red eléctrica debe ser bien comprendida y analizada para que sea confiable, robusta y segura para los usuarios. Es bien sabido que las inestabilidades en la red eléctrica pueden aparecer a través de desequilibrios de frecuencia o voltaje, o debido a la ruptura de una línea u otro componente. Se han dedicado muchas investigaciones al modelado y al control de la estabilidad de la red. La mayor parte se centra en la frecuencia y la estabilización del voltaje utilizando diversos algoritmos y métodos de control. Otros trabajos construyen métodos para comprender y analizar la propagación de apagones en la red eléctrica. El objetivo principal de esta tesis es, primero, comprender la dinámica de la red en presencia de control de frecuencia descentralizado incluido directamente en los dispositivos eléctricos. Primero consideramos el caso de una sola central eléctrica y luego ampliamos el estudio al caso de una red. En segundo lugar, esta tesis tiene como objetivo analizar la propagación de apagones o cortes de línea en una situación en la que se controla el consumo eléctrico. Para estos fines, modelamos una red eléctrica realista utilizando herramientas matemáticas y métodos computacionales.

El primer paso para modelar la red eléctrica es el modelado de la central eléctrica, que en términos generales está compuesta por un generador y los reguladores de frecuencia y voltaje. El modelo de la central eléctrica se basa en la segunda ley de Newton para un cuerpo en rotación. La ecuación obtenida, también conocida como "swing equation", relaciona la variación de la frecuencia de la red con el desequilibrio entre la potencia eléctrica y la mecánica. Esta ecuación se combina luego con el modelo del regulador de frecuencia. La regulación de frecuencia considerada aquí está compuesta por el control de frecuencia de carga (LFC) que es el control primario y el control de generación automático (AGC), también considerado como control secundario. Se muestra que después de cualquier desviación la frecuencia vuelve a su valor de referencia gracias al LFC y al AGC. La regulación de voltaje no se considera en esta tesis y se supone que la tensión es siempre constante. En segundo lugar proponemos un modelo de demanda estocástica muy simple capaz de reproducir las principales propiedades estadísticas de las fluctuaciones de la demanda real. Este modelo estocástico corresponde exactamente a un proceso de Markov para un sistema compuesto por N partículas, cada una haciendo transiciones entre dos estados (encendido, apagado) con una cierta tasa p. Las fluctuaciones de frecuencia que crea dicho modelo ajustando únicamente la tasa de encendido y apagado p son lo suficientemente similares a las fluctuaciones de frecuencia reales medidas en la red de islas de Baleares mediante como para considerarlo un modelo válido. El control de frecuencia de la red eléctrica es una tarea exigente que requiere costosas plantas de generación de reserva para adaptar el suministro a la demanda fluctuante. Un enfoque alternativo es controlar el lado de la demanda de tal manera que ciertos dispositivos modifiquen su funcionamiento para adaptarse a la disponibilidad de energía. Esto es especialmente importante para lograr una alta penetración de fuentes de energía renovables. Se han propuesto varios métodos para gestionar el lado de la demanda. En este trabajo nos centramos en el control dinámico de la demanda (DDC por sus siglas en inglés), donde los dispositivos inteligentes pueden retrasar sus conmutaciones dependiendo de la frecuencia del sistema. Primero introducimos DDC en el modelo simple propuesto para estudiar sus efectos en la frecuencia de la red eléctrica. Encontramos que el DDC puede reducir las fluctuaciones de tamaño pequeño y mediano, pero también puede aumentar la probabilidad de observar grandes picos de frecuencia debido a la necesidad de recuperar tareas pendientes. Aunque estos eventos (grandes picos de frecuencia) son muy raros, pueden desencadenar un fallo del sistema y, por lo tanto, deben abordarse estrategias para evitarlos. Después, presentamos un nuevo método que incluye comunicación entre dispositivos DDC pertenecientes a un grupo determinado, de forma que puedan coordinar acciones opuestas para mantener la demanda del grupo más estable. Mostramos que para este método la cantidad de tareas pendientes disminuye en un factor de 10, mientras que las grandes fluctuaciones de frecuencia se reducen significativamente o incluso se e tan por completo. Extendiendo el estudio al caso de una red simple, mostramos que además de la reducción de las fluctuaciones de frecuencia observadas en cada nodo, el DDC suaviza las fluctuaciones de las diferencias de fase entre los generadores. Además, mostramos que en el caso de una interrupción repentina de una línea, los dispositivos inteligentes adaptan su consumo de acuerdo con la interrupción en la red. Esto no sucede en la red sin control. Con respecto a los efectos del control en una red, también hemos estudiado cómo el control secundario puede ayudar a prevenir la llamada paradoja de Braess. Hoy en día la integración de las fuentes de energía renovables requiere extensiones de la red y acciones de control sofisticadas en diferentes escalas de tiempo para hacer frente a las fluctuaciones a corto plazo y el desequilibrio de potencia a largo plazo. La paradoja de Braess constituye un fenómeno colectivo contraintuitivo que se produce si al agregar una nueva línea de transmisión a una red aumenta la carga en otras líneas, lo que reduce de manera efectiva el rendimiento del sistema o incluso puede impedir completamente su funcionamiento. Combinando consideraciones analíticas con investigaciones numéricas en una red simple, estudiamos las consecuencias dinámicas del control secundario en un modelo de red eléctrica de corriente alterna. Demostramos que aplicando control a todos los nodos proporciona estabilidad dinámica al sistema y cura la paradoja de Braess, mientras que si el control se aplica sólo a los nodos generadores su eficacia es limitada y depende de la topología de la red. Nuestros resultados resaltan la importancia del control de la demanda junto con la topología de la red para un funcionamiento estable, y revelan un nuevo beneficio funcional del control secundario. Finalmente abordamos el problema de los fallos en cascada en un modelo realista del despacho de electricidad en la red eléctrica. Los componentes de la red eléctrica están interconectados de forma tal que cualquier fallo puede propagarse, afectando los elementos vecinos de la red si no se hace nada para aislar el elemento defectuoso o la región afectada. La comprensión de los fallos en cascada constituye un desafío importante en la comunidad de control de la red eléctrica, y es primordial para la seguridad de la red y el desarrollo económico de una sociedad. Se han propuesto varios modelos para abordar este problema. Entre ellos, el modelo ORNL-PSerc-Alaska (OPA), que es un modelo propuesto por investigadores e ingenieros del Oak Ridge National Laboratory (ORNL), Power System Engineering Research Center de la Universidad de Wisconsin (PSerc) y la Universidad de Alaska (Alaska) para estudiar y comprender fallos y apagones en cascada. Aquí estudiamos los fallos en cascada en una pequeña red de cientos de nodos utilizando el modelo OPA en el que hemos añadido fluctuaciones de potencia y DDC. Observamos que la función de distribución acumulativa complementaria del tamaño de los apagones tiene una cola que muestra una característica de la ley de potencia, ambos con y sin DDC. También observamos una reducción del número de lineas sobrecargadas y apagones en presencia de DDC en comparación

con el caso sin control. DDC desplaza los apagones de las horas pico a las horas valle, donde se recuperan las tareas pendientes. Aunque se reduce el número de apagones, la probabilidad de observar uno grande en horas valle es mayor que sin control, un fenómeno similar al observado en el caso de la red de corriente alterna.

[cat] La xarxa elèctrica és un complex interconnectat dissenyat per lliurar electricitat dels proveïdors als consumidors. És la infraestructura humana més gran mai construïda, i està al centre de la nostra vida diària. La complexitat de la xarxa elèctrica prové del nombre de components que interactuen directament o indirectament a la xarxa, com a generadors, consumidors, transformadors, relés, línies de transmissió, comercialitzadores, la naturalesa i el medi ambient. La xarxa elèctrica es pot veure com el sistema circulatori de la societat. L’electricitat (sang) es produeix en els generadors (cor) que l’empenyen (bombes) cap a les línies de transmissió (artèries i venes), que la transporten i la distribueixen als usuaris finals o consumidors (òrgans). La xarxa elèctrica moderna combina cada vegada més un nou tipus d’unitats de generació alimentades per fonts d’energia renovables (eòlica, solar i d’aigua), totes elles dependents del clima i, per tant, impredictibles i fluctuants. Com a part important i essencial de les nostres vides, la xarxa elèctrica ha de ser ben compresa i analitzada perquè sigui fiable, robusta i segura per als usuaris. És ben sabut que les inestabilitats a la xarxa elèctrica poden aparèixer a través de desequilibris de freqüència o voltatge, o causa de la ruptura d’una línia o altres components. S’han dedicat moltes investigacions al modelat i al control de l’estabilitat de la xarxa. La major part se centra en la freqüència i l’estabilització del voltatge utilitzant diversos algoritmes i mètodes de control. Altres treballs construeixen mètodes per comprendre i analitzar la propagació d’apagades a la xarxa elèctrica. L’objectiu principal d’aquesta tesi és, primer, comprendre la dinàmica de la xarxa en presència de control de freqüència descentralitzat inclòs directament en els dispositius elèctrics. Primer considerem el cas d’una sola central elèctrica i després ampliam l’estudi al cas d’una xarxa. En segon lloc, aquesta tesi té com a objectiu analitzar la propagació d’apagades o talls de línia en una situació on es controla el consum elèctric. Per a aquests fins, modelem una xarxa elèctrica realista utilitzant eines matemàtiques i mètodes computacionals. El primer pas per a modelar la xarxa elèctrica és el modelatge de la central elèctrica, que en termes generals està composta per un generador i els reguladors de freqüència i voltatge. El model de la central elèctrica es basa en la segona llei de Newton per a un cos en rotació. L’equació obtinguda, també coneguda com a "swing equation", relaciona la variació de la freqüència de la xarxa amb el desequilibri entre la potència elèctrica i la mecànica. Aquesta equació es combina després amb el model del regulador de freqüència. La regulació de freqüència considerada aquí està composta pel control de freqüència de càrrega (LFC) que és el control primari i el control de generació automàtic (AGC), també considerat com a control secundari. Es mostra que després de qualsevol desviació, la freqüència torna al seu valor de referència gràcies al LFC i al AGC. La regulació de voltatge no es considera en aquesta tesi i se suposa que la tensió és sempre constant. En segon lloc proposem un model de demanda estocàstica molt simple capaç de reproduir les principals propietats estadístiques de les fluctuacions de la demanda real. Aquest model estocàstic correspon exactament a un procés de Markov per a un sistema compost per N partícules, cadascuna fent transicions entre dos estats (encès, apagat) amb una certa taxa p. Les fluctuacions de freqüència que crea aquest model ajustant únicament la taxa d’encesa i apagada p són prou similars a les fluctuacions de freqüència reals mesurades a la xarxa de les Illes Balears com per considerar-lo un model vàlid. El control de freqüència de la xarxa elèctrica és una tasca exigent que requereix tenir costoses plantes d’energia preparades per adaptar el subministrament a la demanda fluctuant. Un enfocament alternatiu és controlar el costat de la demanda de tal manera que certs dispositius modifiquin el seu funcionament per adaptar-se a la disponibilitat d’energia. Això és especialment important per aconseguir una alta penetració de fonts d’energia renovable. S’han proposat diversos mètodes per gestionar el costat de la demanda. En aquest treball ens centrem en el control dinàmic de la demanda (DDC per les seves sigles en anglès), on els dispositius intel·ligents poden retardar les seves commutacions depenent de la freqüència del sistema. Primer introduïm DDC en el model simple proposat per estudiar els seus efectes en la freqüència de la xarxa elèctrica. Trobem que el DDC pot reduir les fluctuacions de mida petita i mitjana, però també pot augmentar la probabilitat d’observar grans pics de freqüència a causa de la necessitat de recuperar tasques pendents. Tot i que aquests esdeveniments (grans pics de freqüència) són molt rars, poden desencadenar una fallada del sistema i, per tant, s’han d’abordar estratègies per evitar-los. Després, presentem un nou mètode que inclou comunicació entre dispositius DDC pertanyents a un grup determinat, de manera que puguin coordinar accions oposades per mantenir la demanda del grup més estable. Mostrem que per aquest mètode la quantitat de tasques pendents disminueix en un factor de 10, mentre que les grans fluctuacions de freqüència es redueixen significativament o fins i tot s’eviten completament. Estenent l’estudi al cas d’una xarxa simple, mostram que a més de la reducció de les fluctuacions de freqüència observades en cada node, el DDC suavitza les fluctuacions de les diferències de fase entre els generadors. A més, mostram que en el cas d’una interrupció sobtada d’una línia, els dispositius intel·ligents adapten el seu consum d’acord amb la interrupció a la xarxa. Això no succeeix a la xarxa sense control. Pel que fa als efectes del control en una xarxa, també hem estudiat com el control secundari pot ajudar a prevenir l’anomenada paradoxa de Braess. Avui dia la integració de les fonts d’energia renovables requereix extensions de la xarxa i accions de control sofisticades a diferents escales de temps per fer front a les fluctuacions a curt termini i el desequilibri de potència a llarg termini. La paradoxa de Braess constitueix un fenomen col·lectiu contraintuïtiu que es produeix si l’agregar una nova línia de transmissió a una xarxa augmenta la càrrega en altres línies, el que redueix de manera efectiva el rendiment del sistema o fins i tot pot impedir completament el seu funcionament. Combinant consideracions analítiques amb investigacions numèriques en una xarxa simple, estudiem les conseqüències dinàmiques del control secundari en un model de xarxa elèctrica de corrent altern. Demostram que aplicant control a tots els nodes proporciona estabilitat dinàmica al sistema i cura la paradoxa de Braess, mentre que si el control s’aplica només als nodes generadors la seva eficàcia es limitada i depèn de la topologia de la xarxa. Els nostres resultats ressalten la importància del control de la demanda juntament amb la topologia de la xarxa per a un funcionament estable, i revelen un nou benefici funcional del control secundari. Finalment abordem el problema de les fallades en cascada en un model realista del despatx d’electricitat a la xarxa elèctrica. Els components de la xarxa elèctrica estan interconnectats de manera que qualsevol error pot propagar-se, afectant als elements veïns de la xarxa si no es fa res per aïllar l’element defectuós o la regió afectada. La comprensió de les fallades en cascada constitueix un desafiament important en la comunitat científica que estudia el control de la xarxa elèctrica, i és primordial per a la seguretat de la xarxa i el desenvolupament econòmic d’una societat. S’han proposat diversos models per abordar aquest problema. Entre ells, el model ORNL-PSerc-Alaska (OPA), que és un model proposat per investigadors i enginyers de l’Oak Ridge National Laboratory (ORNL), Power System Engineering Research Center de la Universitat de Wisconsin (PSerc) i la Universitat d’Alaska (Alaska) per estudiar i comprendre errors i apagades en cascada. Aquí estudiam les fallades en cascada en una petita xarxa de centenars de nodes utilitzant el model OPA en el qual hem afegit fluctuacions de potència i DDC. Observem que la funció de distribució acumulativa complementària de la mida de les apagades té una cua que mostra característiques de llei de potència, tots dos amb i sense DDC. També observem una reducció del nombre de línies sobrecarregades i apagades en presència de DDC en comparació amb el cas sense control. DDC desplaça les apagades de les hores punta a les hores vall, on es recuperen les tasques pendents. Encara que es redueix el nombre d’apagades, la probabilitat d’observar-ne una de gran en hores vall és més gran que sense control, un fenomen similar a l’observat en el cas de la xarxa de corrent altern.