[cat] En molts problemes, que apareixen de forma natural en diferents camps de la
ciència, la noció de mètrica juga un paper fonamental. En ells, les mètriques
s'utilitzen habitualment per a mesurar la dissimilitud entre objectes o punts. Tot i
això, en alguns casos el concepte de mètrica es massa restrictiu, fet que ha motivat
la introducció de diferents generalitzacions del concepte mètrica, entre els quals
s'inclouen les quasi-mètriques o les mètriques parcials. Per altra banda, hi ha alguns
problemes que involucren en la seva pròpia naturalesa una certa incertesa. En
aquests casos, la teoria Fuzzy és més adequada per al tractament del problema. Tal
fet ha propiciat l'aparició d'algunes adaptacions al context Fuzzy de la noció de
mètrica i de l'estudi d'aquestes. Entre altres, podem trobar les nocions d'operador
d'indistinguibilitat o del de mètrica difusa.
Un tema d'interès, relacionat amb les diverses generalitzacions de les mètriques i
de les seves adaptacions al context Fuzzy, consisteix en l'estudi d'aquelles funcions
que transformen una família de mètriques generalitzades, o una tota sola, en una
nova mètrica generalitzada. En aquesta tesi s'abordaran alguns temes relacionats
amb aquest tipus de funcions. Per altra banda, es proporcionen algunes aplicacions
relacionades amb alguns dels resultats teòrics obtinguts en la tesi. A continuació es
detallen les aportacions principals:
Donem una nova caracterització d'aquelles funcions que transformen qualsevol
mètrica parcial en una nova mètrica parcial. A més, s'estudia les condicions que han
de complir aquestes funcions per tal de conservar algunes propietats topològiques.
Es caracteritzen les funcions que agreguen quasi-mètriques, és a dir, aquelles
funcions que transformen qualsevol família de quasi-mètriques definides sobre un
mateix conjunt X en una nova quasi-mètrica definitiva també sobre X. Per un altre
costat, es demostren algunes propietats de dites funcions i s'argumenten dos
possibles camps d'aplicació dels resultats obtinguts.
Demostrem una caracterització d'aquelles funcions que generen una mètrica
parcial a partir d'una quasi-mètrica, i viceversa. A més, estudiem les propietats que
han de complir dites funcions per tal de preservar l'ordre parcial i la topologia
induïts, tant per una mètrica parcial com per una quasi-mètrica.
Es caracteritzen les funcions que agreguen una quasi-mètrica i mètrica parcial per
tal d'obtenir una nova mètrica generalitzada. Aquesta caracterització demostra que
la mètrica generalitzada que s'obté coincideix amb una quasi-mètrica parcial. El
resultat obtingut permet desenvolupar un marc general per a l'estudi simultani de
la semàntica de llenguatges i l'anàlisi de la complexitat algorítmica.
Es proporcionen dues formes diferents de construir una mètrica difusa a partir
d'una de clàssica. Una d'elles per mitjà de les funcions que preserven mètriques i
l'altra a partir de generadors additius. A més, es demostren algunes propietats de
les mètriques difuses obtingudes. Per altra banda, es proporciona un mètode per a
construir una mètrica clàssica a partir d'una mètrica difusa.
Establim una relació de dualitat entre mètriques difuses i mètriques modulars, una
generalització de mètrica que inclou en la seva definició un paràmetre. Aquesta
relació motiva la introducció d'un nou concepte que generalitza tant els operadors
d'indistinguibilitat com les mètriques difuses.
Per últim, s'estableix una base teòrica per generar funcions de resposta en el
problema d'assignació de tasques en sistemes Multi-robot. Aquesta es basa en l'ús
d'operadors d'indistinguibilitat i de preordres difusos.
[spa] En muchos problemas, que aparecen de forma natural en diferentes campos de la
ciencia, la noción de métrica juega un papel esencial. En ellos, dicha noción se utiliza
habitualmente para medir la disimilitud entre puntos u objetos. Sin embargo, en
algunos casos la definición de métrica es demasiado restrictiva. Esto ha motivado la
introducción de diferentes generalizaciones del concepto de métrica, entre los
cuales se incluyen las casi-métricas y las métricas parciales. En cambio, algunos
problemas involucran en su propia naturaleza cierta incertidumbre. En dichos
casos, la teoría Fuzzy es más apropiada para el tratamiento del problema. Este hecho
ha promovido algunas adaptaciones al contexto Fuzzy de la noción de métrica y el
estudio de estas. Entre otras, podemos encontrar las nociones de operador de
indistinguibilidad o el de métrica difusa.
Un tema de interés, relacionado con las generalizaciones de métrica y sus
adaptaciones al entorno Fuzzy, es el estudio de aquellas funciones que transforman
una familia de métricas generalizadas, o una sola, en una nueva métrica
generalizada. En esta tesis abordamos algunos tópicos relacionados con dichas
funciones. Además, proporcionamos algunas aplicaciones relacionadas con algunos
de los resultados teóricos obtenidos en la tesis. A continuación se detallan las
principales aportaciones:
Damos una nueva caracterización de aquellas funciones que transforman cualquier
métrica parcial en una nueva métrica parcial. Además, se estudia qué condiciones
deben cumplir dichas funciones para preservar algunas propiedades topológicas.
Caracterizamos las funciones que agregan casi-métricas, que son aquellas funciones
que transforman cualquier familia de casi-métricas definidas sobre un mismo
conjunto X en una nueva casi-métrica definida sobre X. Por otro lado, se demuestran
algunas propiedades de dichas funciones y se presentan, de modo argumentado, dos
posibles campos de aplicación de los resultados obtenidos.
Se demuestra una caracterización de aquellas funciones que generan una métrica
parcial a partir de una casi-métrica, y viceversa. Además se estudia qué propiedades
deben cumplir dichas funciones para preservar el orden parcial y la topología
inducida, tanto por una métrica parcial como por una casi-métrica.
Se caracterizan las funciones que agregan una casi-métrica y una métrica parcial
con el fin de obtener una nueva métrica generalizada. En dicha caracterización se
demuestra que la métrica generalizada obtenida es una casi-métrica parcial. El
resultado obtenido permite desarrollar un marco general para el estudio simultáneo
de la semántica de lenguajes y el análisis de complejidad algorítmica.
Se proporcionan dos formas diferentes de construir una métrica difusa a partir de
una clásica. Una de ellas mediante funciones que preservan métricas y la otra por
medio de generadores aditivos. Se demuestran algunas propiedades de las métricas
difusas obtenidas. Además, proporcionamos un método para construir una métrica
clásica a partir de una métrica difusa.
Establecemos una relación de dualidad entre métricas difusas y métricas
modulares, una generalización de métrica que incluye en su definición un
parámetro. Dicha relación motiva la introducción de un nuevo concepto que
generaliza tanto a los operadores de indistinguibilidad como a las métricas difusas.
Por último, establecemos una base teórica para generar funciones de res\-puesta
en el problema de asignación de tareas en sistemas Multi-robot. Este se basa en el
uso de operadores de indistinguibilidad y preordenes difusos.
[eng] In many problems of different fields of Science, the notion of metric plays an
essential role. Such a notion is commonly used to measure the dissimilarity between
points or objects. However, the definition of metric is too restrictive in some
problems. It has motivated the introduction of different kind of generalizations of
the concept of metric, in which quasi-metrics and partial metrics are included.
Moreover, some problems involve in its nature some uncertainty. In such cases, the
Fuzzy theory is more appropriate for the treatment of the problem. This fact has
promoted some adaptations to the fuzzy context of the notion of metric and their
study. Among others, we can find the notions of indistinguishability operator or
fuzzy metric.
A topic of interest, related to the generalizations of metric and the adaptation of
metric to the fuzzy setting, is the study of those functions that transform a family
of generalized metrics, or a single one, into a new generalized metric. In this
dissertation we tackle some items related with the aforesaid functions. In addition,
we provide some applications related with some of the theoretical results obtained.
The main contributions of this dissertation are summarized below:
We prove a new characterization of those functions that transform each partial
metric into a new one partial metric. In addition, conditions to preserve some
topological properties by the aforementioned functions are studied.
We characterize quasi-metric aggregation functions, which are those functions that
transform a family of quasi-metrics defined on the same set $X$ into a new quasimetric defined on $X$. Moreover, some properties of such functions are proved and
two possible fields of application of the obtained results are presented.
A characterization of those functions that generate a partial metric from a quasimetric, and vice-versa, are proved Besides, the preservation by means of such
functions of the partial order and the topology induced by a quasi-metric or a partial
metric are studied.
Functions that merge a quasi-metric and a partial one into a new generalized metric
are characterized. In such a characterization it is shown that the generalized metric
obtained is a partial quasi-metric. The result obtained allows us to develop a general
framework to study, at the same time, denotational semantics and complexity
analysis of algorithms.
Two different ways to construct a fuzzy metric from a classical one are provided.
One of them by means of metric preserving functions and the other one using
additive generators. Some properties of the fuzzy metrics obtained are proved.
Furthermore, we give a method to construct a classical metric from a fuzzy one.
We establish a duality relationship between fuzzy metrics and modular metrics, a
generalization of metric that include in its definition a parameter. Such a
relationship motivates the introduction of a new concept that generalizes both
indistinguishability operators and fuzzy metrics.
We establish a theoretical foundation to generate response functions for Multirobot task allocation problem. It is based on the use of indistinguishability operators
and fuzzy preorders.