Geometria Projectiva

Abstract

[cat] L’espai afí no té origen prefixat, però té l’infinit prefixat: si dues rectes són paral·leles, això és, si es tallen en un punt de l’infinit, les seves transformades per una afinitat, també són paral·leles, és a dir, també es tallen en un punt de l’infinit. Això significa que les afinitats, o, equivalentment, els canvis de coordenades afins, porten punts de l’infinit a punts de l’infinit, dit d’altra manera, conserven l’infinit. No obstant, és possible pensar en transformacions lineals —en el sentit que transformen línies rectes en línies rectes— que no conserven el paral·lelisme, per exemple la projecció d’un pla a un altre des d’un punt exterior a tots dos (un exemple n’és la fotografia d’unes vies de tren, aquestes són paral·leles, però es projecten en rectes convergents. Aquesta projecció té centre l’objectiu de la càmera). Es busca doncs una noció d’espai en què les transformacions que conservin la seva estructura no conservin el paral·lelisme, és a dir, no conservin l’infinit: un espai, doncs, en el qual l’infinit no estigui prefixat sinó que pugui ser triat arbitràriament, demanera què l’origen de l’espai afí no estigui prefixat sinó que es sigui arbitrari. Aquesta serà la noció d’espai projectiu , i les transformacions que conservin la seva estructura seran les projectivitats, les quals conservaran les rectes, però no el paral·lelisme d’aquestes. En altres paraules, el paral·lelisme no formarà part de l’estructura: ”en un pla projectiu no hi haurà rectes paral·leles”. És fàcil comprovar que la noció de paral·lelisme i la noció de proporció o raó simple de tres punts alineats són equivalents (és a dir que disposant d’una noció es pot definir l’altra). Així doncs, les projectivitats, com no conservaran el paral·lelisme, no conservaran la raó simple de tres punts alineats, però conservaran un altre tipus de raó que involucra quatre punts alineats i a la qual anomenarem la seva raó doble. Una vegada haguem fet una ullada a la part més teòrica, veurem algunes de les aplicacions d’aquesta geometria en el món de l’art i la fotografia.