Representacions lineals de grups finits

Abstract

[cat] En el següent treball, introduirem el concepte de representació lineal d’un grup, juntament amb altres definicions i propietats que ens permetran estudiar-les. En primer lloc, es definirà el que és la representació lineal d’un grup finit, juntament amb alguns exemples i definicions bàsiques. Seguidament, introduirem algunes operacions entre representacions com poden ser el producte tensorial o la suma directa de representacions. Una vegada clara la idea de representació lineal, introduirem el concepte de caràcter d’una representació, i veurem amb detall un recull de resultats de la teoria de caràcters. Aquesta part serà la més important així comlamés complexa. La seva importància, com veurem, radica en el fet que el caràcter d’una representació la caracteritza per complet. Vista la teoria de caràcters, veurem el que són el producte de representacions així com les representacions induïdes. Per acabar amb la teoria, deixarem una mica de banda el títol del treball i introduirem breument el que serien les representacions lineals de grups no finits i com es poden aplicar tots els resultats vists en el cas dels grups finits. Entesa la teoria, es presentaran exemples concrets de grups i calcularem els seus caràcters irreductibles, que determinaran les representacions irreductibles, a partir de les quals, comhaurem vist, podrem calcular tota la resta de representacions. A més, els capítols 3,4 i 6 inclouen un grapat d’exercicis resolts que ens ajudaran a assimilar la teoria i utilitzar-la per demostrar altres propietats, generalment derivades de les ja vistes.