Un acostament a la teoria de dominis i la dualitat de Stone

Abstract

[cat] En aquest treball exposarem algunes tècniques de la teoria de dominis. L’objectiu serà trobar un model adequat per la semàntica dels llenguatges de programació que es pugui recolzar en una teoria matemàtica sòlida per tal de tenir una base sobre la que es pugui raonar sobre el significat d’un programa, que a priori és una expressió purament sintàctica. Per això, primer donarem una petita introducció i alguns resultats bàsics de la teoria de dominis en el capítol 2. Principalment, aquests inclouen el teorema del punt fix de Kleene, la definició de domini continu i algebraic i la completació per ideals. A continuació, al capítol 3, veurem com podem construir nous dominis a partir d’altres. Aquestes construccions representarán la formació de tipus de dades a partir de tipus primitius. La qüestió a la que dedicarem més temps serà la resolució d’equacions recursives de dominis, que es correspon a la definició de tipus de dades recursius com una llista enllaçada o un arbre binari. Per acabar, el capítol 4 tractarà sobre el teorema de dualitat de Stone, que estableix una dualitat entre els espais topològics i els frames (locales). Aquesta dualitat es pot refinar per casos més concrets com espais localment compactes o la base d’un domini, així que estudiarem també algunes d’aquestes restriccions. De fet, una d’aquestes restriccions del teorema de dualitat relaciona els dominis continus amb els reticles completament distributius, i d’aquí se’n pot extreure una aplicació a la semàntica denotacional que es tradueix en una equivalència entre la sintaxi i la semàntica dels programes.