Un Curso en Aritmética

Abstract

[spa] El objetivo de este trabajo es profundizar en la rama de teoría de números algebraica ampliando los conocimientos adquiridos durante el grado. Para ello nos centraremos en las formas cuadráticas en n variables con coeficientes en Q. Daremos una caracterización de las formas que tienen algún cero racional no trivial. Para ello necesitaremos introducir el anillo Zp de enteros p-ádicos y su cuerpo de fracciones, Qp, el llamado cuerpo de números p-ádicos; estudiaremos estos objetos tanto desde un punto de vista algebraico como topológico. Esto nos dará una serie de herramientas para definir el símbolo de Hilbert, que nos permitirá determinar cuándo una forma cuadrática ternaria con coeficientes en Qp tiene algún cero en ese mismo cuerpo.Más adelante, podremos hacer lomismo para una forma cuadrática en n variables. Finalmente, haremos un estudio general sobre losmódulos cuadráticos que aplicaremos a estos cuerpos para deducir el Teorema de Hasse-Minkowski. Éste nos dirá que si una forma cuadrática con coeficientes en Q tiene un cero no trivial en R y en todos los cuerpos Qp, entonces tiene un cero racional no trivial, i.e. tal forma tiene un cero “global” si tiene un cero “local” en cada uno de estos espacios. Se desea, además de aprender un cierto conjunto de datos teóricos, crear un programa en el lenguaje Sage que refleje los conocimientos y las herramientas adquiridas.