Stochastic binare-state dynamics on complex networks: a theoretical analysis

Abstract

[eng] Binary-state models on complex networks are built as a simplified theoretical construction to analyze the stochastic dynamics of a system made of interacting individuals. The individuals that compose these systems are assumed to hold a binary state, whose interpretation depends on the context of the model, that evolves in time following a determined set of rules. Typical examples that can be studied using this tool include: epidemic spreading (the two options being infected or susceptible to the illness), language competition (speaking language A or language B), opinion dynamics (supporting option A or option B), financial markets (selling or buying state of a broker), among many others. Usually, these models display a phase transition where a change of the macroscopic behavior is expected, for example: from healthy to endemic phases in epidemic spreading or from coexistence to consensus in opinion dynamics. The characterization of these transitions and an understanding of how and when they emerge is one of the main goals of the models, and it can be carried out using some tools of statistical mechanics. The aim of this thesis is to deepen on the theoretical methods to study binary-state models and to explore the role of each of the more relevant ingredients that define their dynamical rules, specifically: the effect of network structure in the interactions, non-linear state copying mechanisms and non-Markovian (memory) effects. We analyze different approximate techniques, as well as their accuracy and suitability to elucidate their effects on the macroscopic dynamics. Among these we consider in detail sophisticated compartmental approaches, where the specific details of the interactions are aggregated into a few number of variables, thus greatly improving the simplicity of the description. The thesis is presented as a compendium of publications, where each chapter of the central part of the thesis is a different published contribution, or in process of being published. This comes preceded by an introduction chapter, where we explain the field of study, a chapter of methodology, where we review the methods used and, finally, a chapter with the conclusions. We divide the contents in three parts, where each part contains several related publications depending on the ingredient of the models that we are considering with particular attention. As listed above these are: effect of network structure, non-linear copying mechanisms and non-Markovian dynamics. Network structure, which determines the interaction relations between individuals, is one of the crucial features in the definition of the models. It influences most of the stationary and dynamical results such as: the existence, the nature and the location of the phase transitions, the size of the fluctuations and the time scale of the evolution of the global state of the system. The evaluation of these effects is a nontrivial task as they strongly depend on the rules of the model. We investigate how to take into account network structure in a full stochastic description of binary-state models, at different levels of approximation using mean field theories. The methods developed can be applied to any model and, only for some simple models of interest, we are able to obtain an explicit analytical solution that enlarges our understanding of the dynamics. Among all the mechanisms that one can postulate and that may produce a change of state of the individuals, we focus on two prototypical ones: (i) imitating or copying the state of one or more other individuals, and (ii) changing state randomly independently of the others. This may correspond to a standard opinion dynamics scenario. The simplest mechanism that one can study is blind imitation, which corresponds to pairwise state copying between interacting individuals. We explore different generalizations of this rule by including a non-linear copying mechanisms, which can be understood as a group instead of pairwise interaction. The impact of this generalization is analyzed, taking into account also the effect of network structure. The results are far from trivial, exhibiting the appearance of induced continuous and discontinuous coexistence-consensus transitions whose properties are well characterized using theoretical and numerical methods, including some of the mean field approaches studied in the first part of the thesis. Memory (non-Markovian) effects are also to be taken into account as an important feature of the models. The idea is to consider that the rules that drive the dynamics depend, not only on the present set of binary states of the population but also, at some extend, of previous states. This may represent an aging related property of the individuals, where the longer an individual spends holding the same state the harder it is to change state. We develop a theoretical basis to include this factor in the mathematical description of the dynamics, which enables us to characterize the macroscopic behavior of these systems. Some of these models can be mapped to an equivalent “effective” memory-less (Markovian) model, while others require a more demanding analysis, and we determine under which conditions the reduction is possible. Examples of non-Markovian models that cannot be reduced are those displaying burstiness, power-law interevent-time distributions, or those whose dynamics get trapped in a frozen state, both are analyzed in detail.

[spa] Los modelos de estados binarios se construyen como un instrumento te´orico simplificado que permite analizar la din´amica estoc´astica de un sistema de individuos que interaccionan entre s´ı. Se asume que los individuos que componen estos sistemas poseen un estado binario cuya interpretaci´on depende del contexto del modelo, dicho modelo evoluciona en el tiempo siguiendo un conjunto determinado de reglas. Ejemplos t´ıpicos que se pueden estudiar usando esta herramienta son: la propagaci´on de enfermedades (donde los dos estados posibles ser´ıan infectado o susceptible), competici´on de lenguas (hablar la lengua A o B), din´amica de opiniones (a favor o en contra), mercados financieros (tendencia a comprar o vender), entre otros. Normalmente, estos modelos presentan una transici´on de fase donde el comportamiento macrosc´opico del sistema cambia, por ejemplo: en la propagaci´on de enfermedades entre la fase end´emica y en estado de remisi´on de una epidemia, o en la din´amica de opiniones entre la coexistencia y el consenso. Caracterizar las transiciones y entender c´omo y cu´ando emergen es uno de los objetivos centrales de los modelos, y se puede llevar a cabo usando algunos m´etodos de la mec´anica estad´ıstica. El prop´osito de esta tesis es profundizar en los m´etodos te´oricos utilizados en el estudio de modelos de estados binarios y explorar el papel de cada una de las caracter´ısticas que definen sus reglas din´amicas, espec´ıficamente: el efecto de la estructura de red en las interacciones, mecanismos no lineales de copia y efectos no Markovianos (de memoria). Analizamos las diferentes t´ecnicas de aproximaci´on, as´ı como su precisi´on e idoneidad para dilucidar sus efectos en la din´amica macrosc´opica. Entre estas t´ecnicas hacemos ´enfasis en las teor´ıas compartimentales, donde los detalles espec´ıficos de las interacciones se agregan en un n´umero peque˜no de variables, mejorando enormemente la simplicidad de la descripci´on. Esta tesis se presenta como un compendio de publicaciones, donde cada cap´ıtulo de la parte central de la tesis es una contribuci´on diferente en forma de art´ıculo. Esto viene precedido por un cap´ıtulo de introducci´on, donde se explica el campo de estudio, un cap´ıtulo de metodolog´ıa donde se resumen los m´etodos usados y, finalmente, un cap´ıtulo de conclusiones. Dividimos los contenidos principales en tres partes, donde cada una contiene diversas publicaciones relacionadas dependiendo de la caracter´ıstica del modelo en la que nos estamos centrando. Como se mencion´o anteriormente, estas son: el efecto de la estructura de red, mecanismos de copia no lineal y din´amica no Markoviana. La estructura de red, que determina las relaciones de interacci´on entre individuos, es uno de los rasgos cruciales en la definici´on de los modelos. Esta influencia los resultados din´amicos y estacionarios tales como: la existencia, la naturaleza y la localizaci´on de la transiciones de fase, el tama˜no de las fluctuaciones y la escala de tiempo de la evoluci´on temporal del estado global del sistema. La evaluaci´on de estos efectos es una tarea no trivial debido a que dependen fuertemente de las reglas del modelo. Investigamos c´omo tener en cuenta la estructura de red en una descripci´on estoc´astica completa de los modelos de estados binarios, en diferentes niveles de aproximaci´on usando teor´ıas de campo medio. Los m´etodos desarrollados pueden ser aplicados a cualquier modelo, y solo para algunos casos de inter´es obtenemos una soluci´on anal´ıtica expl´ıcita. De entre todos los mecanismos que uno puede postular y que producen un cambio de estado de los individuos, nos centramos en dos protot´ıpicos: (i) imitar o copiar el estado de uno o m´as individuos, y (ii) cambiar de estado aleatoriamente independientemente de los otros. Esto puede corresponder a un escenario t´ıpico de din´amica de opiniones. El mecanismo m´as simple que uno puede estudiar es el de imitaci´on ciega, que es equivalente a la copia entre parejas de individuos interaccionantes. Exploramos diferentes generalizaciones de esta regla incluyendo mecanismos de copia no lineales, similar a lo que se puede entender como una interacci´on grupal en lugar de en parejas. Se analiza el impacto de esta generalizaci´on, teniendo en cuenta tambi´en el efecto de la estructura de red. Los resultados, lejos de ser triviales, presentan la aparici´on de transiciones (coexistencia-consenso) continuas y discontinuas inducidas, cuyas propiedades se caracterizan usando m´etodos te´oricos y num´ericos, incluyendo algunas aproximaciones de campo medio estudiadas en la primera parte de la tesis. Los efectos de memoria (no Markovianos) tambi´en se consideran como un rasgo importante de los modelos. La idea es tener en cuenta que las reglas que dirigen la din´amica dependen, no solo del conjunto de estados binarios de la poblaci´on en el presente, sino tambi´en, en cierta medida, de estados previos. Esto puede representar una propiedad de envejecimiento de los individuos, donde contra m´as tiempo pasa un individuo manteniendo el mismo estado, m´as dif´ıcil es cambiar de estado. Se desarrolla una base te´orica para incluir este factor en la descripci´on matem´atica de la din´amica, lo que nos permite caracterizar el comportamiento macrosc´opico de estos sistemas. A algunos de estos modelos se les puede asignar un modelo equivalente “efectivo” sin memoria (Markoviano), mientras que otros requieren un an´alisis m´as detallado. Ejemplos de modelos no Markovianos que no pueden reducirse son aquellos que muestran distribuciones de tiempo entre eventos que siguen una ley de potencias, o aquellos cuya din´amica queda atrapada en un estado congelado, ambos se analizan en detalle.

[cat] Els models d’estats binaris es construeixen com un instrument te`oric simplificat que permet analitzar la din`amica estoc`astica d’un sistema d’individus amb interaccions entre ells. S’assumeix que els individus que formen part d’aquests sistemes posseeixen un estat binari, l’interpretaci´o del qual dep`en del context del model i aquest model evoluciona en el temps seguint un conjunt determinat de regles. Exemples t´ıpics que es poden estudiar emprant aquesta eina s´on: la propagaci´o de malalties (on els dos estats possibles serien infectat o susceptible), competici´o de lleng¨ues (parlar la llengua A o B), din`amica d’opinions (a favor o en contra), mercats financers (tend`encia a comprar o vendre), entre d’altres. Normalment, aquests models presenten una transici´o de fase on la conducta macrosc`opica del sistema canvia, per exemple: a la propagaci´o de malalties entre la fase end`emica i l’estat de remissi´o d’una epid`emia, o a la din`amica d’opinions entre la coexist`encia i el consens. Caracteritzar les transicions i entendre com i quan sorgeixen, ´es un dels objectius centrals d’aquests models, i es pot dur a terme emprant alguns m`etodes de la mec`anica estad´ıstica. L’objectiu d’aquesta tesi ´es aprofundir en els m`etodes te`orics emprats a l’estudi dels models d’estats binaris i explorar la funci´o de cadascuna de les caracter´ıstiques que defineixen les seves regles din`amiques, espec´ıficament: l’efecte de l’estructura de xarxa a les interaccions, els mecanismes no lineals de c`opia i els efectes no Markovians (de mem`oria). Analitzem les diferents t`ecniques d’aproximaci´o, aix´ı com la seva precisi´o i idone¨ıtat per a dilucidar els seus efectes a la din`amica macrosc`opica. Entre aquestes t`ecniques fem `emfasis en les teories compartimentals, on els detalls espec´ıfics de les interaccions s’agreguen en un nombre petit de variables, millorant la simplicitat de la descripci´o. Aquesta tesi es presenta com un compendi de publicacions, on cada cap´ıtol de la part central de la tesi ´es una contribuci´o distinta en forma d’article. Aquesta va precedida per un cap´ıtol d’introducci´o, on s’explica el camp d’estudi, un cap´ıtol de metodologia, on es resumeixen els m`etodes emprats i, finalment, un cap´ıtol de conclusions. Dividim els continguts principals en tres parts, on cadascuna cont´e v`aries publicacions relacionades amb la caracter´ıstica del model que estem estudiant amb inter`es particular. Com esmentem m´es amunt, aquestes s´on: l’efecte de l’estructura de xarxa, els mecanismes de c`opia no lineal i la din`amica no Markoviana. L’estructura de xarxa, que determina les relacions d’interacci´o entre individus, ´es un dels trets crucials en la definici´o dels models. Aquesta influeix en els resultats din`amics i els estacionaris en el seg¨uents aspectes: l’exist`encia, la naturalesa i la localitzaci´o de les transicions de fase, la grand`aria de les fluctuacions i l’escala de temps de l’evoluci´o temporal de l’estat global del sistema. L’avaluaci´o d’aquests efectes ´es una tasca no trivial pel fet que depenen en gran mesura de les regles del model. Investiguem com tenir en compte l’estructura de xarxa en una descripci´o estoc`astica completa dels models d’estats binaris, en diferents nivells d’aproximaci´o fent ´us de les teories de camp mitj`a. Els m`etodes desenvolupats poden aplicar-se a qualsevol model i, a m´es, per a alguns casos d’inter`es obtenim una soluci´o anal´ıtica expl´ıcita. Entre tots els mecanismes que produeixen un canvi d’estat dels individus que podem postular, ens centrem en dos protot´ıpics: (i) imitar o copiar l’estat d’un o m´es individus, i (ii) canviar d’estat aleat`oriament independentment dels altres. Aix`o pot correspondre a un escenari t´ıpic de din`amica d’opinions. El mecanisme m´es simple que un pot estudiar ´es el d’imitaci´o cega, que ´es equivalent a la c`opia entre parelles d’individus que interaccionen. Explorem diferents generalitzacions d’aquesta regla incloent mecanismes de c`opia no lineals, an`aleg a una interacci´o grupal en lloc d’en parelles. S’analitza l’impacte d’aquesta generalitzaci´o, tenint en compte tamb´e l’efecte de l’estructura de xarxa. Els resultats, lluny de ser trivials, presenten l’aparici´o de transicions (coexist`encia-consens) cont´ınues i discont´ınues indu¨ıdes, les propietats dels quals es caracteritzen emprant m`etodes te`orics i num`erics, incloent algunes aproximacions de camp mitj`a estudiades en la primera part de la tesi. Els efectes de mem`oria (no Markovians) tamb´e es consideren com un tret important dels models. La idea ´es tenir en compte que les regles que dirigeixen la din`amica depenen, no sols del conjunt d’estats binaris de la poblaci´o en el present, sin´o tamb´e, en certa manera, d’estats previs. Aix`o pot representar una propietat d’envelliment dels individus, on com m´es temps passa un individu en un mateix estat, m´es dif´ıcil ´es per ell canviar-lo. Es desenvolupa una base te`orica per a incloure aquest factor en la descripci´o matem`atica de la din`amica, la qual cosa ens permet caracteritzar el comportament macrosc`opic d’aquests sistemes. A alguns d’aquests models se’ls pot assignar un model equivalent efectiu sense mem`oria (Markovi`a), mentre que uns altres requereixen un an`alisi m´es detallat. Exemples de models no Markovians que no poden reduir-se s´on aquells que mostren distribucions de temps entre esdeveniments que segueixen una llei de pot`encies, o aquelles on la din`amica es queda atrapada en un estat congelat, tots dos s’analitzen detalladament.