Desarrollo de un programa de resolución numérica de las Ecuaciones de Einstein en el Formalismo 3+1

Abstract

[spa] En este trabajo se ha buscado realizar un programa capaz de resolver num´ericamente las ecuaciones de Einstein, Gµν = (8πG/c4 )Tµν, evolucionando las componentes de la m´etrica que describen el espacio-tiempo en la teor´ıa de la Relatividad General. Durante este proceso, se ha ampliado el conocimiento en posibles formulaciones de las ecuaciones de Einstein y en la aplicaci´on de m´etodos num´ericos, as´ı como alcanzar una cierta experiencia pr´actica a la hora de desarrollar un c´odigo complejo desde cero. El espacio-tiempo que queremos resolver se puede describir matem´aticamente como una variedad 4-dimensional descrita por un tensor, llamado m´etrica, con el que podemos calcular las distancias entre puntos. Esta m´etrica contiene informaci´on del espacio-tiempo, y es el tensor que queremos resolver mediante las ecuaciones de Einstein. Estas ecuaciones son covariantes (independientes del sistema de coordenadas). Para conseguir una descripci´on m´as intuitiva de la variedad hay que dejar de usar la notaci´on covariante y separar expl´ıcitamente el espacio del tiempo. La descomposici´on 3+1 permite realizar una partici´on de esta variedad en hipersuperficies tridimensionales (que podemos asociar con el espacio) parametrizadas seg´un una variable real (que asociaremos con el tiempo). C´omo se determinan estas superficies y los observadores que asociamos a nuestras coordenadas viene dado por la funci´on lapso y por el vector desplazamiento, conocidas como condiciones de slicing o de gauge. El lapso indica c´omo de separadas est´an las hipersuperficies, mientras que el vector desplazamiento nos dice c´omo var´ıan las coordenadas con respecto a las l´ıneas que siguen los vectores normales a dichas hipersuperficies. Esta descripci´on del espacio tiempo es la que ha sustentado el formalismo de evoluci´on temporal que se ha utilizado para las simulaciones contenidas en este trabajo, ya que ha permitido plantear la evoluci´on del sistema como un problema de Cauchy (o de condiciones iniciales). En este trabajo hemos utilizado observadores normales tales que el valor del vector desplazamiento es cero, mientras que para el lapso hemos usado la familia de condiciones de slicing gen´erica de Bona-Masso. Con este objetivo en mente se ha realizado una secci´on introductoria comentando la motivaci´on de desarrollar este tipo de programas en el contexto actual de la relatividad num´erica. Seguidamente, un cap´ıtulo m´as te´orico en el que se exponen los conceptos necesarios para entender c´omo se ha planteado el trabajo de resoluci´on de las ecuaciones a un nivel m´as formal. A continuaci´on, un breve cap´ıtulo expone los m´etodos num´ericos utilizados a lo largo del proceso. Finalmente se han recogido los resultados obtenidos por las distintas ejecuciones del programa, desarrollado en c´odigo Python. Para el primer caso que se ha hecho evolucionar, el m´as sencillo, el espacio-tiempo descrito contaba con solamente dos dimensiones (i.e., una dimensi´on espacial y la otra temporal). Se ha introducido artificialmente un pulso en la funci´on lapso. Tal y como se esperaba, ha evolucionado como si de una ecuaci´on de ondas se tratase. M´as que una motivaci´on f´ısica, este sistema se ha presentado como primera toma de contacto con la resoluci´on de las ecuaciones de Einstein y para adquirir experiencia que nos pueda resultar ´util a la hora de resolver problemas m´as complejos. En segundo lugar, se da el salto de coordenadas espaciales cartesianas a esf´ericas. Comenzamos definiendo un espacio tridimensional adem´as de la dimensi´on temporal. Gracias a la simetr´ıa esf´erica todos los campos involucrados s´olo presentar´an dependencia en la coordenada radial. Con esto podemos seguir un planteamiento similar al empleado en el caso unidimensional, lo que simplifica bastante las ecuaciones. Imitando la primera simulaci´on se ha hecho evolucionar con ´exito una perturbaci´on en la funci´on lapso que se ha propagado como una onda, con la diferencia de que en este caso la amplitud de las resultantes ha variado seg´un se acercan o se alejan del centro de coordenadas. Con este sistema tambi´en nos hemos asegurado de que las ecuaciones de evoluci´on est´an bien implementadas para el caso de vac´ıo en tres dimensiones. Entre estos dos primeros casos, adem´as de incrementar el n´umero de variables utilizadas para describir el espacio-tiempo, tambi´en hemos tenido que cambiar la ecuaci´on de evoluci´on del lapso, aunque dentro de las familias definidas por las condiciones de gauge de Bona-Masso. El motivo es que el slicing harm´onico empleado anteriormente (la funci´on constante) no es la m´as robusta para espacios con campos gravitacionales fuertes, como los que querremos evolucionar. La nueva funci´on de slicing escogida ser´a pues la condici´on 1+log. Tambi´en hemos tenido que modificar las condiciones de contorno que ya no pod´ıan ser peri´odicas, puesto que los extremos del dominio donde resolvemos las ecuaciones tienen distintas interpretaciones f´ısicas (en un extremo se han impuesto condiciones de simetr´ıa por ser el origen de coordenadas y en el otro las condiciones de frontera radiativas). Por ´ultimo nos hemos encontrado con la necesidad de buscar ecuaciones de evoluci´on que fueran regulares en el origen del sistema de coordenadas, donde la coordenada radial se anula. Una vez el programa funcionaba en el vac´ıo, hemos alcanzado el objetivo de calcular la evoluci´on del agujero negro de Schwarzschild. Se ha definido el problema en coordenadas isotr´opicas para eliminar la singularidad en el horizonte de eventos y poder hacer evolucionar el programa para cualquier valor de la nueva coordenada radial. Los resultados se han podido comparar con los encontrados en la literatura de manera bastante satisfactoria. Finalmente hemos intentado realizar simulaciones en las que hab´ıa un campo escalar auto-gravitante, pero no han funcionado ya que en todas las simulaciones acababan apareciendo oscilaciones violentas en la regi´on del origen. Incluso se ha probado a cambiar la condici´on de slicing a maximal slicing, pero su implementaci´on no se debe haber realizado bien ya que tampoco era capaz de hacer evolucionar el agujero negro, mientras que la condici´on 1+log s´ı lo ha hecho.