Partículas y campos en un condensado de Bose-Einstein

Abstract

[spa] En este trabajo, en primer lugar, estudiamos el movimiento de una impureza o partícula de prueba inmersa en un condensado de Bose-Einstein (BEC) a temperatura cero. Se utiliza un potencial repulsivo Gaussiano para modelar la interacción entre la impureza y las partículas que forman el BEC, las cuales están descritas por una única función de onda macroscópica que satisface la ecuación de Gross-Pitaevskii (GPE). La fuerza que ejerce el condensado sobre la impureza se calcula mediante el teorema de Ehrenfest. Además, la llamada transformación de Madelung permite escribir GPE en su versión hidrodinámica y estudiar el BEC como un fluido cuántico. De esta manera, se comparan la fuerza ejercida, por parte del BEC, sobre la impureza con la fuerza que actuaría sobre una partícula en el caso de la dinámica de fluidos clásica. Para esta parte del trabajo se analizan dos casos simples: uno despreciando la presión cuántica y otro considerándola. La segunda parte del trabajo consiste en estudiar el flujo que se crea en el condensado mediante un haz láser a temperatura diferente de cero. Para ello se resuelve numéricamente la ecuación de Gross-Pitaevskii en dos casos: con potencial externo nulo y con potencial armónico. Para el primero de los casos, se adopta una visión lagrangiana del fluido y se integra la posición de una muestra de partículas del condensado obteniendo así sus trayectorias. Finalmente, a partir de estas trayectorias se discute la existencia de un régimen caótico mediante el cálculo del exponente de Lyapunov.

[cat] En aquest treball, primer estudiem el moviment d’una impuresa o partícula de prova immersa en un condensat de Bose-Einstein (BEC) a temperatura zero. S’utilitza un potencial repulsiu Gaussià per modelar la interacció entre la impuresa i les partícules que formen el BEC, les quals estan descrites per una única funció d’ona macroscòpica que satisfà l’equació de Gross-Pitaevskii (GPE). La força que exerceix el condensat sobre la impuresa es calcula mitjançant el teorema d’Ehrenfest. A més, l’anomenada transformació de Madelung permet escriure GPE en la seva versió hidrodinàmica i estudiar el BEC com a un fluid quàntic. D’aquesta manera, es comparen la força exercida, per part del BEC, sobre la impuresa amb la força que hi actuaria sobre una partícula en el cas de la dinàmica de fluids clàssica. Per a aquesta part del treball s’analitzen dos casos simples: un menyspreant la pressió quàntica i un altre considerant-la. La segona part del treball consisteix a estudiar el flux que es crea al condensat mitjançant un feix làser a temperatura diferent de zero. Per això es resol numèricament l’equació de Gross- Pitaevskii en dos casos: amb potencial extern nul i amb potencial harmònic. Per al primer dels casos, s’adopta una visió lagrangiana del fluid i s’hi integra la posició d’una mostra de partícules del condensat obtenint així les seves trajectòries. Finalment, a partir d’aquestes trajectòries es discuteix l’existència d’un règim caòtic mitjançant el càlcul de l’exponent de Lyapunov.

[eng] In this work, firstly, we study the motion of an impurity or test particle immersed in a Bose- Einstein condensate (BEC) at zero temperature. A Gaussian repulsive potential is used to model the interaction between the impurity and the particles that form the BEC, which are described by a single macroscopic wave function that satisfies the Gross-Pitaevskii equation (GPE). The force exerted by the condensate on the impurity is calculated using Ehrenfest’s theorem. In addition, the so-called Madelung transformation allows writing GPE in its hydrodynamic version and studying the BEC as a quantum fluid. In this way, the force exerted by the BEC on the impurity is compared with the force that would act on a particle in the case of classical fluid 3 dynamics. For this part of the work, two simple cases are analyzed: one neglecting quantum pressure and the other considering it. The second part of the work consists of studying the flow that is created in the condensate by means of a laser beam at a non-zero temperature. To do this, the Gross-Pitaevskii equation is solved numerically in two cases: without external potential and with an harmonic-profile external potential. For the first case, a Lagrangian view of the fluid is adopted and the position of a sample of condensate particles is integrated, thus their trajectories are obtained. Finally, based on these trajectories, the existence of a chaotic regime is discussed by calculating the Lyapunov exponent.