[eng] The generation of stochastic trajectories is one of the preferred tools to study complex
systems. To begin with, the analysis of trajectories gives important information
at a simple glimpse (e.g. relevant scales, size of
uctuations, the duration of transient
regimes, or the presence of stationary states). Furthermore, the statistical characterization
of trajectories unveils quantitative descriptions for the processes, since it
allows computing averages and probability distributions for observables of interest.
This thesis rst focuses on reviewing the principal methods to generate stochastic
trajectories, comparing their strengths and key features. Then, these methods are
used to address two questions in the context of epidemiology: What is the e ect of
the mobility structure of cities in the spreading of infectious diseases? And what is
the mechanism behind the long epidemic survival times widely observed in COVID-
19 data? Finally, we will enter the problem of the generation of rare trajectories,
which are inaccessible for standard algorithms in feasible times. We present a new
method to sample such rare trajectories coined the \backtracking method". The inspection
of stochastic trajectories will be recurrently complemented with standard
techniques from the theory of stochastic process, which are also presented in a selfcontained
manner, such as the computation of absorption times with the backward
Kolmogorov equations or the Wentzel-Kramers-Brillouin method.
[spa] La generaci on de trayectorias estoc asticas es una de las t ecnicas predilectas para el
estudio de sistemas complejos. Para empezar, el an alisis de las trayectorias brinda
informaci on relevante a simple vista (por ejemplo, sobre las escalas caracter sticas,
el tama~no de las
uctuaciones, la duraci on de fases transitorias o la presencia de
estados estacionarios). M as a un, la caracterizaci on estad stica de las trayectorias
puede desvelar descripciones cuantitativas, ya que esta permite calcular promedios
y distribuciones de probabilidad para los observables de inter es. El primer objetivo
de esta tesis es el de revisar los principales m etodos num ericos para generar trayectorias
estoc asticas, comparando sus ventajas y principales caracter sticas. Posteriormente,
estos m etodos ser an usados para responder dos preguntas en el contexto
de la epidemiolog a: >Cu al es el efecto de la estructura de movilidad urbana en el
esparcimiento de una enfermedad contagiosa? Y >Cu al es el mecanismo detr as de
la persistencia epid emica globalmente observada en los datos del COVID-19? Finalmente,
abordaremos el problema de la generaci on de trayectorias raras, que son
inaccesibles para los algoritmos est andar en tiempos de computaci on aceptables. En
esta direcci on, presentamos un nuevo m etodo para obtener dichas trayectorias raras
que llamamos el \backtracking method ". La inspecci on de trayectorias ser a recurrentemente
acompa~nada de t ecnicas propias de la teor a de procesos estoc asticos,
que presentaremos de forma autocontenida, como el c alculo de tiempos de supervivencia
haciendo uso de las ecuaciones de Kolmogorov "backward " o los m etodos
de Wentzel -Kramers -Brillouin .
[cat] La generaci o de traject ories estoc astiques es una de les t ecniques predilectes per a
l'estudi de sistemes complexos. Per a comen car, l'an alisi de les traject ories brinda
informaci o rellevant a simple vista (per exemple, sobre les escales caracter stiques, la
grand aria de les
uctuacions, la durada de fases transit ories o la pres encia d'estats
estacionaris). M es encara, la caracteritzaci o estad stica de les traject ories pot revelar
descripcions quantitatives, ja que aquesta permet calcular mitjanes i distribucions
de probabilitat per als observables d'inter es. El primer objectiu d'aquesta
tesi es el de revisar els principals m etodes num erics per a generar traject ories estoc
astiques, comparant els seus avantatges i principals caracter stiques. Posteriorment,
aquests m etodes seran utilitzats per a respondre dues preguntes en el context
de l'epidemiologia: Quin es l'efecte de l'estructura de mobilitat urbana en
l'esplai d'una malaltia contagiosa? I quin es el mecanisme darrere de la persist encia
epid emica globalment observada en les dades de la COVID-19? Finalment, abordarem
el problema de la generaci o de traject ories rares, que s on inaccessibles per
als algorismes est andard en temps de computaci o acceptables. En aquesta direcci o,
presentem un nou m etode per a obtenir aquestes traject ories rares que anomenem
el "backtracking method". La inspecci o de traject ories ser a recurrentment acompanyada
de t ecniques pr opies de la teoria de processos estoc astics, que presentarem
de forma autocontinguda, com el c alcul de temps de superviv encia fent us de les
equacions de Kolmogorov "backward" o els m etodes de Wentzel-Kramers-Brillouin.