Dynamics and Bifurcation Analysis of Mode-Locking in Coupled Optical Micro-Cavities

Abstract

[eng] The aim of this thesis is to understand passive mode-locking in coupled optical micro-cavities. Delayed algebraic differential equations (DADEs) are derived from first principles for the dynamics of a mode-locked integrated externalcavity surface-emitting laser (MIXSEL) and a vertical cavity surfaceemitting laser coupled to a saturable absorber mirror (VCSELRSAM). By the example of the MIXSEL it is shown that third order dispersion induces a train of decaying satellites on the leading edge of a pulse. As a consequence of the nonlinear interaction with the carriers, these satellites may get amplified and destabilize the mode-locked state. Depending on the parameters this instability stems either from a global bifurcation of the saddle-node infinite-period type or locally from an Andronov-Hopf bifurcation. Multi-scale analysis and functional mapping are used to derive a master equation for both the MIXSEL and the VCSEL-RSAM, where for both equations third order dispersion is an essential ingredient. The analysis of the MIXSEL is concluded by comparing the bifurcation diagrams for the master equation and the DADE yielding a good agreement. For the VCSEL-RSAM the emergence of wiggling temporal localized states is investigated. The analysis shows that the wiggling instability is due to an interplay between the third order dispersion induced by the micro-cavities and their frequency mismatch. The frequency mismatch defines the range of existence of stable emission. The bifurcation scenario underlying the wiggling phenomenon is revealed as stemming from a Bogdanov-Takens bifurcation. The existence of a homoclinic bifurcation allows controlling the period of the oscillation. Further, a mechanism for the stabilization of a super mode-locked state was discovered that is due to second order dispersion induced by the frequency mismatch of the micro-cavities. The master equation successfully predicts the existence of all involved dynamical regimes, including a regime of bistable chaos. In conclusion, this thesis discovered and explained three mechanism related to the stability of mode-locked states. It is the first time that master equations were derived and a bifurcation analysis was performed for DADE laser systems.

[deu] Das Ziel dieser Arbeit ist es, die passive Modenkopplung in gekoppelten optischen Mikrokavitäten zu verstehen. Aus ersten Prinzipien werden verzögerte algebraische Differentialgleichungen (DADEs) abgeleitet für die Dynamik eines modengekoppelten integrierten oberflächenemittierenden Lasers mit externem Resonator (MIXSEL) und eines oberflächenemittierenden Lasers mit vertikalem Resonator gekoppelt an einen sättigbaren Absorberspiegel (VCSEL-RSAM). Am Beispiel des MIXSEL wird gezeigt, dass die Dispersion dritter Ordnung einen Zug von abklingenden Satelliten an der Vorderflanke eines Pulses induziert. Als Folge der nichtlinearen Wechselwirkung mit den Ladungsträgern können diese Satelliten verstärkt werden und den modengekoppelten Zustand destabilisieren. Abhängig von den Parametern entstammt diese Instabilität entweder von einer globalen Bifurkation des Saddle-Node-Typs mit unendlicher Periode oder lokal von einer Andronov-Hopf-Bifurkation. Mit Hilfe der Multiskalenanalyse und der funktionalen Abbildung wird eine Master-Gleichung sowohl für den MIXSEL als auch für den VCSEL-RSAM abgeleitet, wobei für beide Gleichungen die Dispersion dritter Ordnung ein wesentlicher Bestandteil ist. Die Analyse des MIXSEL wird durch den Vergleich der Bifurkationsdiagramme für die Master-Gleichung und die DADE abgeschlossen, wobei eine gute Übereinstimmung festgestellt wird. Für den VCSEL-RSAM wird das Auftreten von wackelnden zeitlich lokalisierten Zuständen untersucht. Die Analyse zeigt, dass die Wackel-Instabilität auf ein Zusammenspiel zwischen der durch die Mikrokavitäten induzierten Dispersion dritter Ordnung und deren Frequenzabweichung zurückzuführen ist. Es zeigt sich, dass die Frequenzabweichung den Bereich der stabilen Emission festlegt. Das Wackelphänomen ist auf eine Bogdanov-Takens-Bifurkation zurückzuführen. Eine existierende homoklinen Bifurkation ermöglicht es, die Periode der Oszillation zu kontrollieren. Darüber hinaus wurde ein Mechanismus zur Stabilisierung eines super modengekoppelten Zustands entdeckt, der auf die Dispersion zweiter Ordnung zurückzuführen ist, die durch die Frequenzabweichung der Mikrokavitäten entsteht. Die Master-Gleichung sagt erfolgreich die Existenz aller beteiligten dynamischen Regime voraus, einschließlich eines Regimes von bistabilem Chaos. Zusammenfassend wurden in dieser Arbeit drei Mechanismen im Zusammenhang mit der Stabilität von modengekoppelten Zuständen entdeckt und erklärt. Zum ersten Mal wurden für DADE Lasersysteme Master-Gleichungen hergeleitet und eine Bifurkationsanalyse durchgeführt.

[spa] El objetivo de esta tesis es comprender el bloqueo de modo pasivo en microcavidades ópticas acopladas. Por eso, se derivan ecuaciones diferenciales algebraicas retardadas (DADE) a partir de los primeros principios para la dinámica de un láser emisor de superficie de cavidad externa integrado con bloqueo de modo (MIXSEL) y un láser emisor de superficie de cavidad vertical acoplado a un espejo absorbente saturable (VCSEL-RSAM). Con el ejemplo del MIXSEL se demuestra que la dispersión de tercer orden induce un tren de satélites que decaen en el borde de ataque de los pulsos. Como consecuencia de la interacción no lineal con los portadores, estos satélites pueden amplificarse y desestabilizar el estado de bloqueo de modo. Dependiendo de los parámetros, esta inestabilidad proviene de una bifurcación global del tipo nodo de silla con período infinito o también de una bifurcación local de Andronov-Hopf. El análisis multiescala y el metodo del mapeo funcional se utilizan para derivar una ecuación maestra tanto para el MIXSEL como para el VCSEL-RSAM, donde para ambas ecuaciones la dispersión de tercer orden revela ser un ingrediente esencial. El análisis del sistema MIXSEL se concluye comparando los diagramas de bifurcación de la ecuación maestra y del modelo DADE, destacando el buen acuerdo. En el caso del VCSEL-RSAM se investiga la aparición de estados localizados temporales ondulantes. El análisis muestra que la inestabilidad del movimiento de los pulsos se debe a una interacción entre la dispersión de tercer orden inducida por las microcavidades y su desajuste de frecuencia. El desajuste de frecuencia define el rango de existencia de la emisión estable. El escenario de bifurcación que subyace al fenómeno de ondulación se revela como derivado de una bifurcación de Bogdanov-Takens. La existencia de una bifurcación homoclínica permite controlar el período de oscilación. Además, se identificó un mecanismo para la estabilización de un estado de súper bloqueado de modos que se debe a la dispersión de segundo orden inducida por el desajuste de frecuencia entre las microcavidades. La ecuación maestra predice con éxito la existencia de todos los regímenes dinámicos involucrados, incluido un régimen de caos biestable. En conclusión, esta tesis descubrió y explicó tres mecanismos relacionados con la estabilidad de los estados de bloqueo de modo. Es la primera vez que se derivan ecuaciones maestras y se realiza un análisis de bifurcación para sistemas láser DADE

[cat] L’objectiu d’aquesta tesi és comprendre el bloqueig de modo passivo en microcavitats òptiques acoblades. Per això, es deriven equacions diferencials algebraiques retardades (DADE) a partir dels primers principis per a la dinàmica d’un làser emissor de superfície de cavitat externa integrat amb bloqueig de mode (MIXSEL) i un làser emissor de superfície de cavitat vertical acoblat a un mirall absorbent saturable (VCSEL-RSAM). Amb l’exemple del MIXSEL es demostra que la dispersió de tercer ordre indueix un tren de satèl·lits que decauen a la vora d’atac dels polsos. Com a conseqüència de la interacció no lineal amb els portadors, aquests satèl·lits es poden amplificar i desestabilitzar l’estat de bloqueig de manera. Depenent dels paràmetres, aquesta inestabilitat prové duna bifurcació global del tipus node de cadira amb període infinit o també duna bifurcació local d’Andronov-Hopf. L’anàlisi multiescala i el mètode de mapatge funcional s’utilitzen per derivar una equació mestra tant per al MIXSEL com per al VCSELRSAM, on per a totes dues equacions la dispersió de tercer ordre revela ser un ingredient essencial. L’anàlisi del sistema MIXSEL es conclou comparant els diagrames de bifurcació de l’equació mestra i del model DADE, destacant el bon acord. En el cas del VCSEL-RSAM, s’investiga l’aparició d’estats localitzats temporals ondulants. L’anàlisi mostra que la inestabilitat del moviment dels polsos es deu a una interacció entre la dispersió de tercer ordre induïda per les microcavitats i el desajust de freqüència. El desajust de freqüència defineix el rang d’existència de l’emissió estable. L’escenari de bifurcació subjacent al fenomen d’ondulació es revela com a derivat d’una bifurcació de Bogdanov-Takens. L’existència d’una bifurcació homoclínica permet controlar el període d’oscil·lació. A més, es va identificar un mecanisme per a l’estabilització d’un estat de súper bloquejat de modos que es deu a la dispersió de segon ordre induïda pel desajust de freqüència entre les microcavitats. L’equació mestra prediu amb èxit l’existència de tots els règims dinàmics involucrats, inclòs un règim de caos biestable. En conclusió, aquesta tesi va descobrir i explicar tres mecanismes relacionats amb l’estabilitat dels estats de bloqueig de manera. És la primera vegada que es deriven equacions mestres i es fa una anàlisi de bifurcació per a sistemes làser DADE.