Patrial diferential equations for an initial value formulation of the relativistic gravity

Abstract

[eng] In this final degree project we present a brief introduction to the 3+1 decomposition of the Einstein equations. As a mathematical preamble, we set down the fundamental properties of hyperbolic partial differential equations and partial differential equations systems, as well as the numerical behaviour which arises from their mathematical properties. We geometrically approach the initial value formulation of the General Relativity theory by understanding the spacetime foliations and the quantities which appear during this formalization of the Einstein equations. After this familiarization with the 3+1 formalism, we derive, using the computer algebra software xTensor for Mathematica, the 3+1 decomposed Einstein equations in the ADM-York and BSSN formalisms. As a short application, we show a one-dimensional analysis of the resulting systems of equations in the linearized-around-flat-space case. We consider two different gauges in order to study if the numerical behaviour of these systems changes depending on the gauge choice

[spa] En aquest treball de final de grau es presenta una breu introducció a la descomposició 3+1 de les equacions d’Einstein. Com a preàmbul matemàtic, s’exposen les propietats fonamentals de les equacions diferencials hiperbòliques i els sistemes d’equacions diferencials hiperbòlics, així com el comportament numèric que en resulta de les seves característiques matemàtiques. S’adreça de manera geomètrica la formulació de valors inicials de la teoria de la Relativitat General entenent primer les foliacions de l’espaitemps i les quantitats que resulten d’aquesta formalització de les equacions d’Einstein. Després d’aquesta familiarització amb el formalisme 3+1, es deriven, emprant el software d’àlgebra computacional per Mathematica xTensor, la descomposició 3+1 de les equacions d’Einstein en els formalismes ADM-York i BSSN. Com a aplicació breu, es mostra una anàlisi unidimensional dels sistemes d’equacions resultants de linealitzar al voltant d’un espaitemps pla. Es consideren dos gauges diferents per estudiar si el comportament numèric d’aquests sistemes d’equacions varia en funció de les condicions de gauge escollides

[cat] En este trabajo de fin de grado se presenta una breve introducción a la descomposición 3+1 de las ecuaciones de Einstein. Como preambulo matemático, se exponen las propiedades fundamentales de las ecuaciones diferenciales hiperbólicas y de los sistemas de ecuaciones diferenciales hiperbólicos, así como el comportamiento numérico que resulta de sus características matemáticas. Se enfoca de manera geométrica la formulación de valores iniciales de la teoría de la Relatividad General entendiendo primero las foliaciones del espaciotiempo y las cantidades que resultan de esta formalización de las ecuaciones de Einstein. Después de esta familiarización con el formalismo 3+1, se derivan, usando el software de álgebra computacional para Mathematica xTensor, la descomposición 3+1 de las ecuaciones de Einstein en los formalismos ADM-York y BSSN. Como aplicación breve, se muestra un análisis unidimensional de los sistemas de ecuaciones resultantes de linealizar alrededor de un espaciotiempo plano. Se consideran dos gauges diferentes para estudiar si el comportamiento numérico de estos sistemas de ecuaciones varía en función de las condiciones de gauge escogidas