Arbres k-furcats amb valors extrems de l'índex de Sackin

Abstract

[cat] L’índex de Sackin d’un arbre arrelat es defineix com la suma de les profunditats (és a dir, de les distàncies des de l’arrel) de les seves fulles. És un índex d’equilibri molt popular en filogenètica, i de fet el primer que es va proposar [1]. Aquest treball es centra en la caracterització dels arbres que tenen els valors extrems, o sigui, els valors màxim i mínim, de l’índex de Sackin en dos tipus de classes d’arbres arrelats: • Les classes k-Tn dels arbres k-furcats (és a dir, on tots els nodes tenen grau de sortida 0, les fulles, o k, els nodes interiors) amb un nombre fixat n de fulles. • Les classes k-Tn,± dels arbres k-furcats amb n fulles i profunditat màxima de les fulles ±. La caracterització dels arbres binaris (és a dir, amb les notacions anteriors, 2-furcats) que donen valors extrems ha estat resolta recentment perM. Fischer [2] però la seva generalització a arbres k-furcats per a k >3 i a arbres k-furcats fixant la profunditat màxima de les fulles eren problemes oberts, en aquest darrer cas fins i tot quan k Æ 2. A banda d’això, també resolem el problema, que abans no havia estat tractat en la literatura ni tan sols per a arbres binaris, de caracteritzar els valors r 2N que són índexs de Sackin d’arbres dins k-Tn. Un ingredient bàsic en la resolució dels problemes tractats en aquest treball ha estat caracteritzar quines condicions ha de verificar una distribució concreta de profunditats perquè existeixi un arbre k-furcat amb les fulles d’aquestes profunditats, i quines condicions han de satisfer els nombres n de fulles dels arbres k-furcats de profunditat màxima ±. Aquests resultats ens permeten després caracteritzar i trobar els arbres que tenen els valors extrems de l’índex de Sackin en les dues classes d’arbres esmentades.