dc.description.abstract |
[cat] L’índex de Sackin d’un arbre arrelat es defineix com la suma de les profunditats (és a dir,
de les distàncies des de l’arrel) de les seves fulles. És un índex d’equilibri molt popular
en filogenètica, i de fet el primer que es va proposar [1].
Aquest treball es centra en la caracterització dels arbres que tenen els valors extrems,
o sigui, els valors màxim i mínim, de l’índex de Sackin en dos tipus de classes d’arbres
arrelats:
• Les classes k-Tn dels arbres k-furcats (és a dir, on tots els nodes tenen grau de
sortida 0, les fulles, o k, els nodes interiors) amb un nombre fixat n de fulles.
• Les classes k-Tn,± dels arbres k-furcats amb n fulles i profunditat màxima de les
fulles ±.
La caracterització dels arbres binaris (és a dir, amb les notacions anteriors, 2-furcats)
que donen valors extrems ha estat resolta recentment perM. Fischer [2] però la seva
generalització a arbres k-furcats per a k >3 i a arbres k-furcats fixant la profunditat
màxima de les fulles eren problemes oberts, en aquest darrer cas fins i tot quan k Æ 2.
A banda d’això, també resolem el problema, que abans no havia estat tractat en la
literatura ni tan sols per a arbres binaris, de caracteritzar els valors r 2N que són índexs
de Sackin d’arbres dins k-Tn.
Un ingredient bàsic en la resolució dels problemes tractats en aquest treball ha estat
caracteritzar quines condicions ha de verificar una distribució concreta de profunditats
perquè existeixi un arbre k-furcat amb les fulles d’aquestes profunditats, i quines
condicions han de satisfer els nombres n de fulles dels arbres k-furcats de profunditat
màxima ±. Aquests resultats ens permeten després caracteritzar i trobar els arbres que
tenen els valors extrems de l’índex de Sackin en les dues classes d’arbres esmentades. |
|