Introducció a l'Àlgebra Homològica

Abstract

[spa] A lo largo de este texto se dará una breve introducción a varios conceptos clave del Álgebra Homológica, siendo el primer capítulo una introducción que explica el nacimiento del Álgebra Homológica a partir de la Topología Algebraica. El segundo capítulo comenzará definiendo el concepto de ¤-módulo —una generalización de un K-espacio vectorial— donde ¤ será un anillo conmutativo con unidad. En él se darán, también, resultados importantes del ámbito de los ¤-módulos y definiciones que nos serán útiles más adelante. El tercer capítulo introduce la Teoría de Categorías en tanto nos será útil a lo largo del trabajo. Asimismo, varios conceptos como el de construcción universal y adjunción de funtores serán explicados aquí. También serán generalizados algunos conceptos introducidos en el capítulo de módulos. El cuarto y último capítulo combina lo expuesto en los capítulos anteriores, y enfoca los módulos desde el punto de vista del Álgebra Homológica. Se definen los bifuntores E(¡,¡) y Ext¤(¡,¡) y se da una equivalencia natural entre ellos. Finalmente, se presenta el llamado problema deWhitehead y se da la solución a un caso específico —el Teorema de Stein-Serre para grupos abelianos (teorema 89)—, así como se expone brevemente qué se puede decir sobre el caso general.